数学是一种非常讲究思维模式的学科，我们从一维空间一直研究到现在的四维空间，克莱因瓶就是四维空间的产物，但是这个东西真的能存在么，到底有何用处到现在为止还没有人可以解释清楚。但在目前的技术与水平来看，我们还是停留在三维空间，并不能制造出克莱因瓶。
克莱因瓶
数学中的克莱因瓶（Klein bottle）是一种不可定向的闭曲面，没有“内部”和“外部”之分。最初的概念是由德国数学家菲利克斯·克莱因提出的。其实它和莫比乌斯带非常相像。这是在三维空间中只能做出“浸入”模型（允许与自身相交），比如：一个瓶子底部有一个洞，延长瓶子的颈部，并且扭曲地进入瓶子内部，然后和底部的洞相连接。
和我们平时用来喝水的杯子不一样，这个物体没有“边”，它的表面不会终结，它也不类似于气球。一只苍蝇可以从瓶子的内部直接飞到外部而不用穿过表面（所以说它没有内外部之分）。这个名字的翻译其实是有些错误的，因为最初用德语命名时候名字中“Kleinsche Fläche”是“克莱因平面”的意思。
这是一个像球面那样封闭的（也就是说没有边）曲面，但是它却只有一个面。在图片上我们看到，克莱因瓶的确就象是一个瓶子。但是它没有瓶底，它的瓶颈被拉长，然后似乎是穿过了瓶壁，最后瓶颈和瓶底圈连在了一起。如果瓶颈不穿过瓶壁而从另一边和瓶底圈相连的话，我们就会得到一个轮胎面(即环面)。
为什么没有容积
市面上的这个瓶子只是在我们生活的三维空间中表示出来的模型，真正的克莱因瓶是一个在四维空间中才可能真正表现出来的曲面。在三维空间中，我们只好牺牲部分特征，把它表现得似乎是自己和自己相交一样。事实上，它的瓶颈是穿过了第四维空间再和瓶底圈连起来的，并不穿过瓶壁。
所以现在可以看到实物有容积，有人拿来做酒瓶了，而真正的它是没有容积的。其次，这个第四维既可以理解成空间，又可以理解成时间，或者其他抽象概念，因为一到三维比较方便地在生活的三维空间里直观表示而被统一叫做空间维度，我们理解之外的维度就不好用统一的名词概括。
比如在超弦理论中，存在十维空间（或更多，取决於所用的弦理论模型）。其中包括我们一般说的一到三维，长度、宽度和纵深。第四维是时间，控制着所有已知事物在任意点上的性质。其他的六个维度我们很难理解，但对弦理论本身的自洽一致却是必须的。
竟然还有这个存在
克莱因瓶别墅，是一栋位于澳大利亚摩林顿半岛的别墅。这栋海滨别墅由澳大利亚"McBride Charles Ryan"建筑师事务所所设计，曾获2009年度世界建筑节"最佳住宅"提名奖。这是一个永远找不到边、表面永远不会终结的物体。这栋建筑物的设计灵感就来自于克莱因，它看起来就好象是根本分不清楚哪里是内部，哪里是外部。
它是一种钢架结构建筑，由水泥和金属材料等建成。当初，设计师的想法就是能够在房子中央建造一个小型院子，以保证整栋房屋的通风效果。这结构房屋实现了设计师的初衷。
